Question

15．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x²f'（x）+1＞0，f（1）=6，则不等式f（lgx）＜$\frac{1}{lgx}$+5的解集为（　　）

• A． （$\sqrt{10}$，0）
• B． （0，10）
• C． （10，+∞）
• D． （1，10）

Answer 1

分析 转化已知条件，通过构造函数，利用函数的单调性，求解不等式的解集即可．

解答 解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x²f'（x）+1＞0，
可得：f'（x）+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，构造函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$-5，则g′（x）=f′（x）$+\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，所以g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵f（1）=6，∴g（1）=0，故g（x）＜0的解集为：（0，1）．即f（x）＜$\frac{1}{x}$+5的解集为（0，1），由0＜lgx＜1，
可得1＜x＜10．
所求不等式的解集为：（1，10）．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性与导数的关系，解题的难点是构造函数，转化思想的应用．