Question

14．f（x）=x²+2x+m，g（x）=m²x+1，若对任意的x₁∈[-2，1]，都有x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求m范围．

Answer 1

分析 求出f（x）在[-2，1]上的值域为A，g（x）在[0，2]上的值域为B，令A⊆B求出m的范围．

解答 解：设f（x）在[-2，1]上的值域为A，g（x）在[0，2]上的值域为B，
则A⊆B，
∵f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x=-1，
∴f（x）在（-2，-1）上单调递减，在（-1，1）上单调递增，
∴f（x）在[-2，1]上的最小值为f（-1）=m-1，最大值为f（1）=m+3，
∴A=[m-1，m+3]，
（1）若m=0，则g（x）=1，即B={1}，此时A=[-1，3]，与A⊆B矛盾，
（2）若m≠0，则g（x）在[0，2]上单调递增，
∴g（x）在[0，2]上的最小值为g（0）=1，最大值为g（2）=2m²+1．
∴B=[1，2m²+1]，
∵A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≥1}\\{m+3≤2{m}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得m≥2．
综上，m的范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的最值，函数恒成立问题，集合运算，属于中档题．