Question

17．下列说法中，正确的有④⑤．（写出所有正确说法的序号）
①已知关于x的不等式mx²+mx+2＞0的角集为R，则实数m的取值范围是0＜m＜4．
②已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n、S_2n-S_n、S_3n-S_2n也构成等比数列．
③已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1+{log_a}（{x+1}），x≥0\\{x^2}+（{4a-3}）x+3a，x＜0\end{array}\right.$（其中a＞0且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程$|{f（x）}|=2-\frac{x}{3}$恰有两个不相等的实数解，则$\frac{1}{3}≤x≤\frac{3}{4}$．
④已知a＞0，b＞-1，且a+b=1，则$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$的最小值为$\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$．
⑤在平面直角坐标系中，O为坐标原点，|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，A（1，1），则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$的取值范围是$[{-\frac{1}{2}-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}+\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 求出m的范围判断①；举例说明②错误；由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2-$\frac{x}{3}$的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出x的范围判断③；由a＞0，b＞-1，且a+b=1，变形可得$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$=$\frac{2}{a}+a$+b-1+$\frac{1}{b+1}$=$\frac{2}{a}+\frac{1}{2-a}$=f（a），0＜a＜2．利用导数求其最值判断④；由三角形的外心和重心的概念，可得O既是外心也为重心，则有△BCD为圆O：x²+y²=1的内接等边三角形，又$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OB}$，由向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到所求范围判断⑤．

解答 解：①当m=0时，关于x的不等式mx²+mx+2＞0的解集为R，当m≠0时，
要使不等式mx²+mx+2＞0的解集为R，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-8m＜0}\end{array}\right.$，解得0＜m＜8，综上，m的范围为0≤m＜8，∴①错误；
②等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n、S_2n-S_n、S_3n-S_2n也构成等比数列错误，如1，-1，1，-1，1，-1的前两项和、中两项和及后两项和，组成的数列为0，0，0．显然不是等比数列；
③∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x²+（4a-3）x+3a在（-∞，0）上单调递减，
y=log_a（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（-∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4a}{2}≥0}\\{0＜a＜1}\\{3a≥1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$．
作出y=|f（x）|和y=2-$\frac{x}{3}$的函数草图如图所示：
∵|f（x）|=2-$\frac{x}{3}$恰有两个不相等的实数解，
∴3a＜2，即a＜$\frac{2}{3}$．
综上，$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{2}{3}$，故③错误；
④∵a＞0，b＞-1，且a+b=1，∴$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$=$a+\frac{2}{a}+b-1+\frac{1}{b+1}$=$\frac{2}{a}+\frac{1}{2-a}$=f（a），0＜a＜2．
令f′（a）=$-\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{（2-a）^{2}}=\frac{-（{a}^{2}-8a+8）}{{a}^{2}（2-a）^{2}}$＞0，解得4-2$\sqrt{2}$＜a＜2，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得0＜a＜4-2$\sqrt{2}$，此时函数f（a）单调递减．
∴当且仅当a=4-2$\sqrt{2}$时，函数f（a）取得极小值即最小值，f（4-2$\sqrt{2}$）=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，故④正确；
⑤由|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，可知O为外心，由$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{0}$，可知O又为重心．
则有△BCD为圆O：x²+y²=1的内接等边三角形，
即有$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OD}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos120°-|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞
=-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞，由于0≤＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞≤π，
则-1≤cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞≤1，
即有$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$∈$[{-\frac{1}{2}-\sqrt{2}，-\frac{1}{2}+\sqrt{2}}]$，故⑤正确．
∴正确命题是④⑤．
故答案为：④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用导数求函数的最值，考查平面向量的应用，综合性强，是中档题．