Question

（2008•浦东新区二模）已知等差数列{x_n}，S_n是{x_n}的前n项和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通项公式；
（2）设an=(

1

3

)n，T_n是{a_n}的前n项和，方程S_n+T_n=2008是否有解？说明理由；
（3）是否存在正数λ，对任意的正整数n，不等式λx_n-4S_n＜228恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，能推导出x₁=1，d=2，由此能求出{x_n}的通项公式．
（2）由an=(

1

3

)n，知Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]，所以Sn=

(1+2n-1)

2

•n=n2，则方程S_n+T_n=2008为：n2+

1

2

[1-(

1

3

)n]=2008．由此能导出方程S_n+T_n=2008无解．
（3）λ（2n-1）-4n²＜228，λ＜

4n2+228

2n-1

．由于2n-1+

225

2n-1

≥30，所以0＜λ＜28．

解答：解：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，
所以

x1+2d=5 6x1+14d=34

⇒

x1=1 d=2

⇒xn=2n-1------------------------------------------（4分）
（2）an=(

1

3

)n，则Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]---（5分）  Sn=

(1+2n-1)

2

•n=n2--（6分）
则方程S_n+T_n=2008为：n2+

1

2

[1-(

1

3

)n]=2008
令：f(n)=n2+

1

2

[1-(

1

3

)n]，则f（n）单调递增----------------------------------------（8分）
当n≤44时，f(n)≤442+

1

2

[1-(

1

3

)44]＜1936+1=1937
当n≥45时，f(n)≥452+

1

2

[1-(

1

3

)45]＞2025所以方程无解．---------------（10分）
（3）λ（2n-1）-4n²＜228，λ＜

4n2+228

2n-1

-------------------------------------------（12分）
即λ＜2n-1+

225

2n-1

-2----------------------------------------------------------------（14分），
由于2n-1+

225

2n-1

≥30，所以0＜λ＜28--------------------------------------------（16分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．