Question

10．F₁，F₂分别是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF₁是等边三角形，则该双曲线的虚轴长为（　　）

• A． 2$\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由双曲线的方程求出a=1，在由双曲线的定义可得|AF₂|-|AF₁|=2a=2，|BF₁|-|BF₂|=2a=2，再在△F₁BF₂中应用余弦定理可得|F₁F₂|的值，即可得c的值，由双曲线的几何性质可得b的值，由虚轴的定义即可得答案．

解答 解：根据题意，如图△ABF₁是等边三角形，
则有|AB|=|AF₁|=|BF₁|，
双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），其中a=1，
A在双曲线上，则|AF₂|-|AF₁|=2a=2，
又由|AB|=|AF₁|，即|BF₂|=2，
B也在双曲线上，|BF₁|-|BF₂|=2a=2，
又由|BF₂|=2，则|BF₁|=2+2=4，
在△BF₁F₂中，|BF₂|=2，|BF₁|=4，∠F₁BF₂=120°，
则|F₁F₂|=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos120°}$=2$\sqrt{7}$，
即2c=2$\sqrt{7}$，
则c=$\sqrt{7}$，
又由a=1，则b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
则双曲线的虚轴长2b=2$\sqrt{6}$；
故选：A．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是求出b的值．