Question

【题目】已知， ，点是动点，且直线和直线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设直线与（1）中轨迹相切于点，与直线相交于点，判断以为直径的圆是否过轴上一定点？

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

（1）设，则依题意得，利用斜率的定义计算可得轨迹方程为.

（2）法1：设直线： ，与椭圆方程联立有，由判别式等于零可得，且，故， ，计算可得，而，可得圆的方程为，讨论可得为直径的圆过轴上一定点.

法2：设，则曲线在点处切线方程为，令，得，据此可得圆的方程为，讨论可得为直径的圆过轴上一定点.

试题解析：

（1）设，则依题意得，又， ，所以有

，整理得，即为所求轨迹方程.

（2）法1：设直线： ，与联立得

，即，

依题意，即，

∴，得，

∴，而，得，又，

设为以为直线的圆上一点，则由，

得，

整理得，

由的任意性得且，解得，

综上知，以为直径的圆过轴上一定点.

法2：设，则曲线在点处切线： ，令，得

，设，则由得

，即，

由的任意性得且，解得，

综上知，以为直径的圆过轴上一定点.