Question

19．已知复数z₁=2+i、z₂=1+2i所对应的点分别是A、B，O是坐标原点．
（1）写出$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的坐标；
（2）求∠BOA的正弦值；（提示：利用余弦定理）
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）直接由复数的值得到$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$的坐标；
（2）求出△OAB的三边长，利用余弦定理求∠BOA的余弦值，进一步得到正弦值；
（3）直接由三角形的面积公式求得面积．

解答 解：（1）∵z₁=2+i、z₂=1+2i，∴$\overrightarrow{OA}=（2，1），\overrightarrow{OB}=（1，2）$；
（2）|OA|=|OB|=$\sqrt{5}$，|AB|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-2）^{2}}=\sqrt{2}$，
∴cos∠BOA=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，则sin$∠BOA=\frac{3}{5}$；
（3）${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{3}{5}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了三角形的解法，是中档题．