Question

【题目】如图，四棱锥中， ⊥底面， ， 为上一点．

（1）证明： ∥平面；

若， ，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）在上取点，使，根据平几知识得四边形是平行四边形，即得,最后根据线面平行判定定理证得∥平面（2）利用空间向量求二面角,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求各面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系得结果

试题解析：证明：（1）在上取点，使，

则， ，

则四边形是平行四边形，则，

则平面∥平面，∵ 平面，

∴∥平面

（2）是正三角形，建立以为坐标原点的空间直角坐标系如图：

则

所以

设平面的法向量为

则由得令则，

则

同理得平面的法向量为

则

则二面角的正弦值