Question

已知函数f(x)＝x³－x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n＋1≥f ′(a_n＋1)．

试比较与1的大小，并说明理由．

Answer 1

∵f ′(x)＝x²－1，a_n＋1≥f ′(a_n＋1)，

∴a_n＋1≥(a_n＋1)²－1.

∵函数g(x)＝(x＋1)²－1＝x²＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a₁≥1，及a₂≥(a₁＋1)²－1得，a₂≥2²－1，进而得a₃≥(a₂＋1)²－1≥2⁴－1>2³－1，

由此猜想：a_n≥2ⁿ－1.

下面用数学归纳法证明这个猜想：

①当n＝1时，a₁≥2¹－1＝1，结论成立；

②假设当n＝k(k≥1且k∈N^*)时结论成立，即a_k≥2^k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)²－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a_k＋1≥(a_k＋1)²－1≥2^2k－1≥2^k＋1－1，

即n＝k＋1时，结论也成立．

由①②知，对任意n∈N^*，都有a_n≥2ⁿ－1.