Question

7．已知△ABC中，AB=BC=3，AC=4，点O是其内心，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的值是2．

Answer 1

分析 以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立坐标系，求得向量的坐标，利用数量积公式求解即可．

解答 解：由题意，以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴建立坐标系，由于AB=BC=3，AC=4，则A（-2，0），C（2，0），
故B（0，$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$）=（0，$\sqrt{5}$），
则$\overrightarrow{AB}$=（2，$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{AC}$=（4，0），$\overrightarrow{BC}$=（2，-$\sqrt{5}$），O（0，y）
因为点O在∠ABC的平分线上，所以$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{AB}$及$\overrightarrow{AC}$的单位向量的和向量共线．
设这个和向量为$\overrightarrow{u}$，则$\overrightarrow{u}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$$+\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{5}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$），$\overrightarrow{AO}$=（x，y），
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，x=2，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=（2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=2×2-$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=4-2=2，
故答案为；2

点评 本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题，关键是运用坐标运用算求解．