Question

20．已知直线l：mx-y=1，若直线l与直线x-（m-1）y=2垂直，则m的值为$\frac{1}{2}$，动直线l：mx-y=1被圆C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦长为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由直线l：mx-y=1，直线l与直线x-（m-1）y=2垂直，利用两直线垂直的性质能求出m的值；求出圆C：x²-2x+y²-8=0的圆心C（1，0），半径r=3，再求出圆心C（1，0）到直线l：mx-y=1的距离d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，弦长为：2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，由此能求出动直线l：mx-y=1被圆C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦长．

解答 解：∵直线l：mx-y=1，直线l与直线x-（m-1）y=2垂直，
∴m×1+（-1）×[-（m-1）]=0，
解得m=$\frac{1}{2}$．
∵圆C：x²-2x+y²-8=0的圆心C（1，0），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+32}$=3，
圆心C（1，0）到直线l：mx-y=1的距离d=$\frac{|m-1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴弦长为：2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{9-\frac{{m}^{2}+1-2m}{{m}^{2}+1}}$=2$\sqrt{8+\frac{2m}{{m}^{2}+1}}$，
∴当且仅当m=-1时，动直线l：mx-y=1被圆C：x²-2x+y²-8=0截得的最短弦长为2$\sqrt{7}$．
故答案为：$\frac{1}{2}，2\sqrt{7}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查弦长的最小值的求法，考查直线与直线垂直、圆、两点间距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．