Question

10．在直角坐标系xoy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，设曲线C参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的极坐标方程为  3ρcosθ+4ρsinθ=2．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程
（Ⅱ）求曲线C上的动点到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C参数方程消去参数θ，能求出曲线C的普遍方程；由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C它表示以（1，2）为圆心，1为半径圆，求出圆心到直线l的距离d=$\frac{9}{5}$，由此能求出曲线C上的点到直线l上的最短距离．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C的普遍方程是（x-1）²+（y-2）²=1，
它表示以（1，2）为圆心，1为半径圆，
∵直线l的极坐标方程为 3ρcosθ+4ρsinθ=2．
∴直线l的直角坐标方程为3x+4y-2=0．
（Ⅱ）由（1）知曲线C它表示以（1，2）为圆心，1为半径圆，
设圆心到直线l的距离为d，则d=$\frac{|3+8-2|}{\sqrt{9+16}}$=$\frac{9}{5}$，
∴曲线C上的点到直线l上的最短距离为$\frac{9}{5}-1=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查曲线的点到直线上的最短距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．