Question

15．已知直线l：mx-y-m+2=0与圆C：x²+y²+4x-4=0交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则m=0或$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 圆心C（-2，0），半径r=4$\sqrt{2}$，由直线l：mx-y-m+2=0与圆C：x²+y²+4x-4=0交于A，B两点，△ABC为直角三角形，得到|AB|=8，圆心C（-2，0）到直线l：mx-y-m+2=0的距离为4，由此能求出结果．

解答 解：圆心C（-2，0），半径r=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，
∵直线l：mx-y-m+2=0与圆C：x²+y²+4x-4=0交于A，B两点，△ABC为直角三角形，
∴|AB|=$\sqrt{{r}^{2}+{r}^{2}}$=$\sqrt{2}r=\sqrt{2}×4\sqrt{2}$=8，
∴圆心C（-2，0）到直线l：mx-y-m+2=0的距离：
d=$\frac{|-2m-0-m+2|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}$=4，
解得m=0或m=$\frac{12}{5}$．
故答案为：0或$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．