Question

2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA=2ccosC，a+b=6，则三角形ABC的面积S_△ABC的最大值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由已知条件结合正弦定理可得cosC，求出sinC，由a+b=6，利用基本不等式可得ab≤9，（当且仅当a=b=3成立），由三角形面积公式即可得答案．

解答 解：由acosB+bcosA=2ccosC，
得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，$sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵a+b=6，可得：6≥2$\sqrt{ab}$，解得：ab≤9，（当且仅当a=b=3成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×9×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，（当且仅当a=b=3成立）．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基础题．