Question

14．已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）=lnx-ax，若函数在定义域上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 作出y=lnx与y=ax的函数图象，利用导数的几何意义得出a的临界值，从而得出a的范围．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且f（x）有4个零点，
∴f（x）在（0，+∞）上有2个零点，
∴y=lnx与y=ax有2个交点，
作出y=lnx与y=ax的函数图象如图所示：

设y=ax与y=lnx相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=1，a=$\frac{1}{e}$．
∴当0$＜a＜\frac{1}{e}$时，直线y=ax与y=lnx在（0，+∞）上有2个交点，
故答案为（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．