Question

12．设函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，φ∈R，若存在常数T（T＜0），使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x），则ω可取的最小值是π．

Answer 1

分析 根据条件确定T=-1，结合三角函数的图象和性质即可得到结论．

解答 解：若存在常数T（T＜0），使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x），
则必有T=-1，
此时f（x-1）=-f（x）成立，
则sin[ω（x-1）+φ]=-sin（ωx+φ），
即sin（ωx+φ）+sin（ωx+φ-ω）=0，
即2sin$\frac{2ωx+2φ-ω}{2}$cos$\frac{ω}{2}$=0，
则必有cos$\frac{ω}{2}$=0，则$\frac{ω}{2}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
则ω=π+2kπ，k∈Z，
∵ω＞0，
∴当k=0时，ω取得最小值ω=π，
故答案为：π

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定T的值是解决本题的关键．