Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求f（x）的最大值，并求出取最大值时x的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用函数的图象，求f（x）的最小正周期；
（2）通过函数的图象求出A，利用周期求出ω，利用函数的图象经过的特殊点求出φ，即可求出f（x）的解析式；
（3）利用图象以及三角函数的值域，直接求f（x）的最大值，并求出取最大值时x的值．

解答：解：（1）设f（x）的最小正周期为T，由图象可知

T

2

=

7π

12

-

π

12

，所以T=π…（2分）
（2）由图象可知A=2…（4分）
又ω=

2π

T

=

2π

π

=2，所以f（x）=2sin（2x+φ）…（6分）
由2sin(2×

π

12

+φ)=2，且|φ|＜

π

2

得φ=

π

3

…（8分）∴f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x+

π

3

)…（9分）
（3）由（2）知f（x）的最大值为2…（10分）
令2x+

π

3

=

π

2

+2kπ(k∈Z)…（12分）
解得x=

π

12

+kπ(k∈Z)…（13分）
所以当x=

π

12

+kπ(k∈Z)时，f（x）有最大值2 …（14分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，周期以及函数的值域的应用，考查计算能力与视图能力．