Question

【题目】直三棱柱中，，分别是，的中点，，为棱上的点．

证明：；

证明：；

是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当D为中点．

【解析】

根据线面垂直的性质定理证明面即可．

建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量垂直的关系进行证明．

求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

证明：，，，

又，，面．

又面，，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，

设且，

即y，，0，，则0，，，

，，所以；

结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，理由如下：

由题可知面ABC的法向量，设面DEF的法向量为，

则，

，

，即，

令，则．

平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，

，

即，

解得或舍，

所以当D为中点时满足要求．