Question

【题目】如图，在正四棱锥中，底边，侧棱， 为侧棱上的点.

（1）若平面，求二面角的余弦值的大小；

（2）若，侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， .

【解析】试题分析：

（1）根据题意可建立空间直角坐标系，然后根据两平面法向量夹角的余弦值求得二面角的余弦值．（2）先假设存在满足题意的点使得平面，然后根据题意求得平面的法向量，由，可得，从而可得当时， 平面.

试题解析：

（1）如图，连接，设交于，由题意知平面，又，故两两垂直．

以为坐标原点， 分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

∵， ，∴.

（1）由题意得， ， ，

∴， ，

∵平面，

∴平面的一个法向量，

又平面的一个法向量，

∴，

由图形知二面角为锐角，

∴所求二面角的余弦值为.

（2）假设在棱上存在一点使得平面．在上取点，连接，

设平面的法向量为，

由题意得，

又点， ， ，

，

由，得，

令，则，

设，

则，

由平面，可得，

解得，

∴当时， 平面.