Question

【题目】已知函数 (x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.

(1)求的值；

(2)证明：对任意的n∈N*，等式都成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据条件和结论先将原函数化为： 然后两边求导后根据条件两边再求导得： ，把 代入式子求值；
（2）由（1）得， 和，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立.

试题解析：(1)解　由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋，

故2f1＋f2＝－1.

(2)证明　由已知，得xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cos x，即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin，类似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，

3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin.

下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)

＝sin对所有的n∈N*都成立.

(ⅰ)当n＝1时，由上可知等式成立.

(ⅱ)假设当n＝k时等式成立，

即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.

因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，

′＝cos·′＝sin，

所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.

因此当n＝k＋1时，等式也成立.

综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)

＝sin对所有的n∈N*都成立.

令x＝，可得nfn－1＋fn

＝sin (n∈N*).

所以＝ (n∈N*).