Question

【题目】已知，函数．

（1）当时，求函数在上的最值；

（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)a≥ .

【解析】

(1) 当a＝2时，求得函数的导数，利用导数得出函数的单调性，即可求解函数的最值；

(2)根据函数f(x)在(－1,1)上单调递增，转化为在(－1,1)上恒成立，再利用分离参数，转化为函数的最值问题，即可求解．

(1) 当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)=0，则x=－或x=

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	0	(0， )		(，2)	2
f′(x)		+	0	-
f(x)	f(0)=0	↗	极大值f()	↘	f(2)=0

所以，f(x)max= f()=(-2+2),f(x)min= f(0)=0.

(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．

又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，

因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，

也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．

设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，

即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，

则y<1＋1－＝，故a≥.