Question

设F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，若在其右准线上存在点P，使△PF₁F₂为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A、(0，

  3

  3

  )
• B、(0，

  2

  2

  )
• C、(

  3

  3

  ，1)
• D、(

  2

  2

  ，1)

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知P（

a2

c

，y），可得F₁P的中点Q的坐标，求出斜率，利用k_F1P•k_QF2=-1，可得y²=2b²-

b4

c2

，由此可得结论．

解答： 解：由已知P（

a2

c

，y），所以F₁P的中点Q的坐标为（

b2

2c

，

y

2

），
由k_F1P=

cy

b2

，k_QF2=

cy

b2-2c2

，
∵k_F1P•k_QF2=-1，∴y²=2b²-

b4

c2

∴y²=（a²-c²）（3-

1

e2

）＞0
∴3-

1

e2

＞0，
∵0＜e＜1，
∴

3

3

＜e＜1．
故选C．

点评：本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定F₁P的中点Q的坐标是关键．