Question

2．（1）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2）．若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，求f（2018）；
（2）已知函数f（x）=$\sqrt{m{x^2}+（m-3）x+1}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称且由y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于x=0对称即函数y=f（x）为偶函数，在已知条件中令x=-2可求f（2）及函数的周期，利用所求周期即可求解；
（2）通过讨论m的范围结合二次函数的性质求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称且把y=f（x-1）向左平移1个单位可得y=f（x）的图象
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数
∵f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2可得f（2）=f（-2）+f（2），∴f（-2）=f（2）=0，
从而可得f（x+4）=f（x），
即函数是以4为周期的周期函数
∴f（2018）=f（504×4+2）=f（2）=0；
（2）m=0时，-3x+1≥0不恒成立，
m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{（m-3）}^{2}-4m≤0}\end{array}\right.$，
解得：1≤m≤9．

点评 本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在．