Question

设a_n=（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）…（1-

1

n2

）（n∈N，且n≥2）
（1）求a₂，a₃，a₄，猜想a_n的化简式；
（2）用数学归纳法证明（1）的结果；
（3）设正数数列{b_n}满足b₁=1，b_n²=2（a_n-

1

2

），求证：n＞1时，b₁+b₂+b₃+…+b_n＞

n

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）代入计算，即可求a₂，a₃，a₄，猜想a_n的化简式；
（2）用数学归纳法证明，关键是证明n=k+1时，结论成立；
（3）b_n²=2（a_n-

1

2

）=

1

n

，可得b_n=

1

n

，利用放缩法，即可证明结论．

解答： （1）解：a₂=

3

4

，a₃=（1-

1

4

）（1-

1

9

）=

2

3

=

4

6

，a₄=（1-

1

4

）（1-

1

9

）（1-

1

16

）=

5

8

，
猜想a_n=

n+1

2n

（n∈N，且n≥2）；
（2）证明：①n=2时，结论成立；
②假设n=k时成立，即a_k=

k+1

2k

，
则n=k+1时，a_k+1=

k+1

2k

•[1-

1

(k+1)2

]=

k+2

2(k+1)

，成立，
∴a_n=

n+1

2n

（n∈N，且n≥2）；
（3）证明：b_n²=2（a_n-

1

2

）=

1

n

，∴b_n=

1

n

，
∴n＞1时，b₁+b₂+b₃+…+b_n＞1+

1

2

+…+

1

n

＞

n

n

=

n

点评：本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，考查数列的通项，属于中档题．