Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=∠A₁AC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）求三棱锥A-DCC₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）过A₁作A₁O⊥AC于点O，由已知得A₁O⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面AA₁O，由此能证明BD⊥AA₁．
（Ⅱ）由VA-DCC1=VC1-ADC，利用等积法能求出三棱锥A-DCC₁的体积．

解答： （Ⅰ）证明：过A₁作A₁O⊥AC于点O，
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD
又底面为菱形，所以AC⊥BD
∵A₁O∩AC=O
∴BD⊥平面AA₁O
∵AA₁?平面AA₁O
∴BD⊥AA₁．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，A₁O⊥平面ABCD，
在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°，∴AO=AA₁•cos60°=1，
∴A₁O=

4-1

=

3

，
S_△ADC=

1

2

×2×2×sin60°=

3

，
∴三棱锥A-DCC₁的体积VA-DCC1=VC1-ADC
=

1

3

×S△ADC×A1O
=

1

3

×

3

×

3

=1．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．