Question

已知点P是曲线x²-y-2ln

x

=0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：当过P点的直线与直线4x+4y+1=0平行时，此时点P到直线4x+4y+1=0的距离最小．利用导数的几何意义即可得到结论．

解答： 解：∵直线4x+4y+1=0的斜率k=-1，
∴过点P与直线4x+4y+1=0平行的直线斜率为k，
由x²-y-2ln

x

=0得y=x²-2ln

x

，
设y=f（x）=x²-2ln

x

=x²-lnx，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
则函数的导数为f′（x）=2x-

1

x

，
由f′（x）=2x-

1

x

=-1，即2x²+x-1=0，解得x=-1（舍去）或x=

1

2

，
则y=f（

1

2

）=（

1

2

）²-ln

1

2

=

1

4

+ln2，
即P（

1

2

，

1

4

+ln2），此时点P到直线4x+4y+1=0的距离d最小，为d=

|4× 1 2 +4( 1 4 +ln2)+1|

16+16

=

2

2

(1+ln2)，
故答案为：

2

2

(1+ln2)

点评：本题主要考查点到直线的距离的最值的计算，利用平移切线法是解决本题的关键．