Question

将函数y=sinx的图象向右平移

π

3

个单位，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数f（x）的图象，若g（x）=f（x）cosx+

3

．
（1）将函数表示为g（x）=Asin（ωx+φ）+B（其中A，ω＞0，φ∈[-

π

2

，

π

2

]）的形式；
（2）若函数g（x）在区间[-

π

12

，θ]上的最大值为2，求θ的最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：由函数图象的平移得到f（x）=4sin（x-

π

3

）．
（1）把f（x）代入g（x）=f（x）cosx+

3

，展开两角差的正弦后整理为asinθ+bcosθ，提取

a2+b2

后得答案；
（2）由x的范围求得相位的范围，结合函数g（x）在区间[-

π

12

，θ]上的最大值为2得到2θ-

π

3

的最小值为

π

2

，则答案可求．

解答： 解：将函数y=sinx的图象向右平移

π

3

个单位，所得图象的函数解析式为y=sin（x-

π

3

），
再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，得到函数f（x）的图象所对应的函数解析式为f（x）=4sin（x-

π

3

）．
则g（x）=f（x）cosx+

3

=4sin（x-

π

3

）cosx+

3

=2sinxcosx-2

3

cos2x+

3

=sin2x-

3

cos2x．
（1）g（x）=sin2x-

3

cos2x=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)=2sin(2x-

π

3

)；
（2）∵x∈[-

π

12

，θ]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

2

，2θ-

π

3

]．
要使函数g（x）在区间[-

π

12

，θ]上的最大值为2，则2θ-

π

3

的最小值为

π

2

，即θ=

5π

12

．
∴θ的最小值是

5π

12

．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了正弦函数的值域的求法，是中档题．