Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F，左、右顶点A₁、A₂，右准线l：x=4且|A₂F|=1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点F且斜率不为零的直线交椭圆与B、C两点，直线A₁B、A₁C分别交l于点M、N，试判断点F是否在以MN为直径的圆上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由准线方程和椭圆的性质，以及a，b，c的关系式，即可得到椭圆方程；
（2）设过点F且斜率不为零的直线BC：y=k（x-1），与椭圆方程联立，消去y，得到二次方程，运用韦达定理，设M（4，m），N（4，n），运用三点共线知识，再计算

MF

•

NF

是否为0，注意化简整理，即可判断．

解答： 解：（1）由题意得，a-c=1，

a2

c

=4，解得，a=2，c=1，由b²=a²-c²=3，
则椭圆C的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设过点F且斜率不为零的直线BC：y=k（x-1），
与椭圆方程联立，消去y，得到（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
设M（4，m），N（4，n），则

MF

=（-3，-m），

NF

=（-3，-n），
由A₁，B，M共线，得

y1

x1+2

=

m

6

，
由A₁，C，N共线，得

y2

x2+2

=

n

6

．
则

MF

•

NF

=9+mn=9+

36y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+36•k²•

(x1-1)(x2-1)

(x1+2)(x2+2)

=9+36k²•

(4k2-12)+(3+4k2)-8k2

(4k2-12)+4(3+4k2)+16k2

=0，
故

MF

⊥

NF

，即有点F在以MN为直径的圆上．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是准线方程，考查直线方程和椭圆方程联立，消去一个未知数，运用韦达定理，同时考查向量的垂直的条件，属于中档题．