Question

设A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）若A∪B=B，求a的取值范围；
（2）若B?A，求a的取值范围．

Answer 1

考点：并集及其运算,集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：（1）由已知得A⊆B，从而集合B中只含两个元素，B=A，由此能求出a的值．
（2）当B⊆A时，A={0，-4}，解得a≤-1或a=1，由此能求出当B?A时，a的取值范围是{a|a＞-1且a≠1}．

解答： 解：（1）∵A={x|x²+4x≤0}={x|-4≤x≤0}，
B={x|x²+2（a+1）x+a²-1≤0}．
A∪B=B，∴A⊆B，
∴集合B中至少有两个元素，①
而方程x²+2（a+1）x+a²-1=0至多有两个实根
∴集合B中至多有两个元素，②，
∴由①、②得集合B中只含两个元素，∴B=A，
当a=1时，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0，x²+4x=0，
此时B=A符合条件．
故所求a的值为a=1．
（2）当B⊆A时，A={0，-4}，
①若B=∅，则x²+2（a+1）x+a²-1=0，△＜0，
于是，4[（a+1）²-（a²-1）]＜0，∴a＜-1；
②若B={0}，把x=0代入方程得a=±1；
当a=1时，B={0，-4}≠{0}，∴a≠1；
当a=-1时，B={0}，∴a=-1；
③若B={-4}，把x=-4代入得a=1或a=7；
当a=1时，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1；
当a=7时，B={-4，-12}≠{-4}，∴a≠7；
④若B={0，-4}，则a=1；
当a=1时，B={0，-4}，∴a=1；
综上所述：a≤-1或a=1．
∴当B?A时，a的取值范围是{a|a＞-1且a≠1}．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．