Question

已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=-1上的射影为点N，且满足（

PN

+

1

2

NF

）•

NF

=0
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x与曲线C交与点M（异于O点），O为坐标原点．过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与曲线C交于A、B两点（异于M）．求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：计算题,证明题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设点P（x，y），则N（-1，y），得到

PN

=（-1-x，0），

NF

=（2，-y），由平面向量的数量积的坐标表示，化简即可得到轨迹方程；
（Ⅱ）将直线方程和抛物线方程联立，消去一个未知数，得到关于k的二次方程，运用韦达定理，求出A，B的横坐标，再由斜率公式，即可得到答案．

解答： （Ⅰ）解：设点P（x，y），则N（-1，y），又F（1，0），

PN

=（-1-x，0），

NF

=（2，-y），
由（

PN

+

1

2

NF

）•

NF

=0，得（-x，-

y

2

）•（2，-y）=0，
-2x+

y2

2

=0
即有点P的轨迹C的方程为：y²=4x；
（Ⅱ）证明：y=x与 y²=4x联立方程得：M（4，4）
设直线MA的方程为：y-4=k（x-4），
联立方程y²=4x消去y得：k²x²-（8k²-8k+4）x+16k²-32k+16=0，
则4•xA=

16k2-32k+16

K2

所以xA=

4k2-8k+4

k2

，同理xB=

4k2+8k+4

k2

，
故直线AB的斜率为

yA-yB

xA-xB

=

k(xA+xB)-8k

xA-xB

=

8k2+8 k -8k

-16 k

=-

1

2

．

点评：本题考查轨迹方程的求法：直接法，也可运用几何法，运用抛物线的定义，同时考查联立直线方程和抛物线方程，消去一个未知数，运用韦达定理求解，结合斜率公式，考查运算能力，属于中档题．