Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+x²．
（1）若方程f（x）=t有三个不等的实根，求实数t的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围；
（3）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=f′（1），若点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N^*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，S_n）也在y=f′（x）的图象上．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再求出极值点，继而得到t的取值范围，
（2）先求导，g（x）的极值存在，则△=4-4m＞0，得m＜1，
（3）由题意求得{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，问题得以解决．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+x²．
∴f′（x）=x²+2x，
令f′（x）=0，得x=0，或x=-2，
∵f（-2）=

4

3

，f（0）=0，
∴当方程f（x）=t有三个不等的实根时，则求实数t的取值范围（0，

4

3

），
（2）∵g（x）=f（x）+mx，
∴g（x）=

1

3

x³+x²+mx，
∴g′（x）=x²+2x+m，
∵g（x）的极值存在，
∴△=4-4m＞0，得m＜1，
∴实数m的取值范围是（-∞，1），
（3）∵f′（x）=x²+2x，a_n+1²-2a_n+1=a_n²-2a_n，
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1+a_n）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又a₁=f′（1）=3，
∴{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n+1，
从而S_n=n²+2n，
∴点（n，S_n）也满足f′（x）=x²+2x，
所以也在y=f′（x）的图象上．

点评：本题主要考查了导数和极值的关系，以及等差数列的问题，属于中档题．