Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，且对任意的正整数n，m，都有a_n+m=a_n+a_m．
（Ⅰ）求出a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式a_n（不需要证明）；
（Ⅱ）设b_n=

1

2n+1

•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由对任意的正整数n，m，都有a_n+m=a_n+a_m，a₁=2．可得：a₂=a₁+a₁=2，a₃=a₁+a₂=2+2=4，a₄=2a₂=8．…，即可猜想出．
（II）b_n=

1

2n+1

•a_n=

2n

2n+1

=

n

2n

．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）由对任意的正整数n，m，都有a_n+m=a_n+a_m，a₁=2．
可得：a₂=a₁+a₁=2，a₃=a₁+a₂=2+2=4，a₄=2a₂=8．
猜想a_n=2n．
（II）b_n=

1

2n+1

•a_n=

2n

2n+1

=

n

2n

．
∴S_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
两式相减可得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n+1

．

点评：本题考查了递推数列的意义、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，考查了猜想归纳能力．属于中档题．