Question

函数y=-x²+2ax+1在-1≤x≤2上的最大值是4，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：二次函数y=-x²+2ax+1 的对称轴方程为x=a，分对称轴在闭区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数的最大值．

解答： 解：二次函数y=-x²+2ax+1 的对称轴方程为x=a，
当a＜-1时，函数y=-x²+2ax+1在区间[-1，2]上单调递减，故函数的最大值为f（-1）=-1-2a+1=4，解得a=-2；
当-1≤a≤2时，函数的最大值为f（a）=a²+1=4，解得a=

3

；
当a≥2时，函数y=-x²+2ax+1在区间[-1，2]上单调递增，故函数的最大值为f（2）=-4+4a+1=4，解得a=

7

4

，舍去．
综上，a的值为-2或

3

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．