Question

已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值，并写出x相应的取值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而根据周期公式求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）根据x的范围，确定2x+

π

4

的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+2sinxcosx-1=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∴函数的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
∴当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）有最大值

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．注重了对三角函数基础知识的综合考查．