Question

已知：f（x）=2sin²（ωx+

π

4

）-

3

cos2ωx，两对称轴间的最短距离为

π

2

，A为锐角△ABC的内角，若f（A）=

3

+1．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为

3

，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=1+2sin（2ωx-

π

3

），根据周期性求得ω=1，可得f（x）的解析式，再根据f（A）=

3

+1求得A的值．
（Ⅱ）利用正弦定理求得a=3，又 a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，bc≤(

b+c

2

)2=

(b+c)2

4

，求得a²≥

(b+c)2

4

，可得b+c的最大值，从而求得周长的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=1-cos(2ωx+

π

2

)-

3

cos(2ωx)=1+sin2ωx-

3

cos2ωx=1+2sin(2ωx-

π

3

)，
∵函数的周期T=π=

2π

2ω

，∴ω=1，∴f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)，∴f(A)=1+2sin(2A-

π

3

)=

3

+1，
∴sin(2A-

π

3

)=

3

2

，（0＜A＜π）．
再根据-

π

3

＜2A-

π

3

＜

5π

3

，∴2A-

π

3

=

π

3

，或2A-

π

3

=

2π

3

，∴A=

π

3

，或A=

π

2

，根据A为锐角，可得A=

π

3

．
（Ⅱ）∵

a

sinA

=2R，a=2

3

×

3

2

=3．
又 a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，bc≤(

b+c

2

)2=

(b+c)2

4

，∴a²≥（b+c）²-

3

4

（b+c）²=

(b+c)2

4

，
∴（b+c）²≤36b+c≤6a+b+c≤9，即周长的最大值为9．

点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．