Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2=0，BC=

1

2

AD，E是线段AB的中点．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）F为线段PC的中点，求平面PBC与平面DEF所成锐二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AD⊥PE，PE⊥AB，从而PE⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥CD．
（2）以E为原点，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出锐二面角的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．
因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．
而CD?平面ABCD，所以PE⊥CD．
（2）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．
则有A（0，1，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），
D（2，1，0），P(0，0，

3

)，F(

1

2

，-

1

2

，

3

2

)
设

n

=(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，

ED

=(2，1，0)，

EF=

(

1

2

，-

1

2

，

3

2

)，
由

ED • n =0 EF • n =0

，有

2x1+y1=0 1 2 x- 1 2 y+ 3 2 z=0

，
取x1=1，y1=-2，z1=-

3

，所以

n

=(1，-2，-

3

)．
设平面BCP的法向量为

m

=(x2，y2，z2)，

CB

=(-1，0，0)，

CP

=(-1，1，

3

)
由

CB • m =0 CP • m =0

，有

-x2=0 -x2+y2+ 3 z2=0

，
取x2=0，y2=-

3

，z2=1，所以

m

=(0，-

3

，1)，
所以cos＜

n

，

m

＞=

2 3 - 3

3+1 × 1+4+3

=

6

8

，
故锐二面角的平面角的余弦值为

6

8

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．