Question

已知一次函数f（x）=ax-2．
（1）当a=3时，解不等式|f（x）|＜4；
（2）解关于x的不等式|f（x）|＜4；
（3）若不等式|f（x）|≤3对任意x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=3时，|f（x）|＜4?|3x-2|＜4，解之即可；
（2）|f（x）|＜4?|ax-2|＜4?-2＜ax＜6，通过对参数a的取值为正、负、0的讨论，即可求得原不等式的解集；
（3）|f（x）|≤3?|ax-2|≤3?-3≤ax-2≤3?-1≤ax≤5?

ax≤5 ax≥-1

，依题意，通过对x=0与x≠0的讨论，利用等价转化思想可得

a≤ 5 x a≥- 1 x

，从而可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=3时，f（x）=3x-2，
∴|f（x）|＜4?|3x-2|＜4?-4＜3x-2＜4?-2＜3x＜6?-

2

3

＜x＜2．
∴不等式的解集为{x|-

2

3

＜x＜2}．
（2）|f（x）|＜4?|ax-2|＜4?-4＜ax-2＜4?-2＜ax＜6，
当a＞0时，不等式的解集为{x|-

2

a

＜x＜

6

a

}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|

6

a

＜x＜-

2

a

}．
（3）|f（x）|≤3?|ax-2|≤3?-3≤ax-2≤3?-1≤ax≤5?

ax≤5 ax≥-1

，
∵x∈[0，1]，
∴当x=0时，不等式恒成立；
当x≠0时，不等式组转化为

a≤ 5 x a≥- 1 x

，
又

5

x

≥5，

-1

x

≤-1，
∴-1≤a≤5，且a≠0．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与函数方程思想、分类讨论思想的综合应用，突出函数恒成立问题的考查，属于中档题．