Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC为直角，AD∥BC，AB⊥AC，AC=AB=2，PA=1，G是△PAC的重心，E为PB中点，F在线段BC上，且CF=2FB．
（1）证明：FG∥平面PAB；    
（2）证明：FG⊥AC；
（3）求三棱锥P-ACE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）欲证FG∥平面PAB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证FG与平面PAB内一直线平行，连接CG延长交PA于M，连BM，根据比例可得FG∥BM，BM?平面PAB，FG?平面PAB，满足定理条件；
（2）欲证FG⊥AC，而FG∥BM，可先证AC⊥BM，欲证AC⊥BM，可证AC⊥平面PAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PAB内两相交直线垂直，而PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，满足定理条件；
（3）由（2）知，AC⊥平面PAB，由V_P-ACE=V_C-AEP=

1

3

AC•S_△AEP．即可得到．

解答： （1）证明：（1）连接CG延长交PA于M，连BM，
∵G为△PAC的重心，∴

CG

GM

=2又∵

CF

FB

=2，∴FG∥BM．
又∵BM?平面PAB，
∴FG?平面PAB，
∴FG∥平面PAB
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM．
由（I）知FG∥BM，∴FG⊥AC；
（3）由（2）知，AC⊥平面PAB，
∴V_P-ACE=V_C-AEP=

1

3

AC•S_△AEP
=

1

3

×2×

1

2

×1×2×

1

2

=

1

6

．

点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定和性质定理，同时考查棱锥的体积转换法，及棱锥的体积公式，考查运算能力，属于中档题．