Question

4．已知数列{a_n}首项为2，且对任意n∈N^*，都有$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，数列{a_n}的前10项和为110．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）若存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由对任意n∈N^*，都有$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，可得当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，相减化简可得2=（n+1）a_n+1-na_n+2，即可证明．
（Ⅱ）设{a_n}的前n项和为S_n，则d=2，可得a_n=2n．由于存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，可得λ≥$\frac{2n}{n+1}$，再利用数列的单调性即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵对任意n∈N^*，都有$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，
∴当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，
可得：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$-$\frac{n-1}{{a}_{1}{a}_{n}}$，又a₁=2，
∴2=na_n-（n-1）a_n+1，
可得2=（n+1）a_n+1-na_n+2，
∴2na_n+1=na_n+na_n+2，即2a_n+1=a_n+a_n+2，∈N^*，
当n=1代入已知条件得$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{3}}$，即2a₂=a₁+a₃．
∴2a_n+1=a_n+a_n+2，∈N^*，
∴数列{a_n}为等差数列．
（Ⅱ）设{a_n}的前n项和为S_n，则d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
∵存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，
∴λ≥$\frac{2n}{n+1}$，
令c_n=$\frac{2n}{n+1}$，则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{\frac{2（n+1）}{n+2}}{\frac{2n}{n+1}}$=$\frac{{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}+2n}$＞1，
∴（c_n）_min=c₁=1．
∴λ≥1．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．