Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=

4-|8x-12|，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，则（　　）

• A、函数f（x）的值域为[1，4]
• B、关于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4个不相等的实数根
• C、存在实数x₀，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立
• D、当x∈[2，4]时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为2

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：分类讨论：①当1≤x≤

3

2

时，f（x）=8x-8，；当

3

2

＜x≤2时，f（x）=16-8x；②当2＜x≤3时，则1＜

x

2

≤

3

2

，此时f（x）=2x-4；当3＜x≤4时，则

3

2

＜

x

2

≤2，此时f（x）=8-2x；依此类推：当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，f（x）=2^5-2n（x-2^n-1），此时，0≤f（x）≤2^3-n；当3•2^n-2＜x≤2ⁿ时，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此时，0≤f（x）≤2^3-n．据此即可判断答案．

解答： 解：①当1≤x≤

3

2

时，f（x）=8x-8，此时，0≤f（x）≤4；
当

3

2

＜x≤2时，f（x）=16-8x，此时，0≤f（x）＜4；
②当2＜x≤3时，则1＜

x

2

≤

3

2

，此时f（x）=2x-4，此时，0≤f（x）≤2；
当3＜x≤4时，则

3

2

＜

x

2

≤2，此时f（x）=8-2x，此时，0≤f（x）＜2；
…，
依此类推：当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，f（x）=2^5-2n（x-2^n-1），
此时，0≤f（x）≤2^3-n；当3•2^n-2＜x≤2ⁿ时，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此时，0≤f（x）≤2^3-n．
据此可得：函数f（x）的值域为[0，4]，故A不正确；
当n=1时，f（x）=

1

2

，有且仅有7个不等实数根，不是2×1+4=6个不等实数根，故B不正确；
xf（x）＞6?f（x）＞

6

x

，由f（x）的图象可得到：当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，f（x）≤f（3•2^n-2）=

6

3•2-2

可得：f（x）≤

6

x

，故C不正确．
当x∈[2，4]时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积S=

1

2

×(4-2)×2=2，故D正确．
故选：D．

点评：本题综合考查了分类讨论思想方法、直线方程、函数的单调性、函数的交点与方程的根、如何否定一个命题等基础知识与基本技能，考查了数形结合的方法与能力、类比推理能力和计算能力．