Question

8．将圆x²+y²=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：3x+y+1=0与C的交点为P₁、P₂，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由坐标变换公式得x=3x′，y=y′，代入x²+y²=1中，得9x^'2+y^'2=1，由此能求出曲线C的参数方程．
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{9{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{3x+y=1}\end{array}\right.$，得P₁（-$\frac{1}{3}$，0），P₂（0，-1），由此能求出过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解答 解：（Ⅰ）∵将圆x²+y²=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$，得曲线C．
∴由坐标变换公式$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=\frac{1}{3}x}\\{{y}^{'}=y}\end{array}\right.$，得x=3x′，y=y′，
代入x²+y²=1中，得9x^'2+y^'2=1，
故曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（ θ为参数）．（5分）
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{9{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{3x+y=-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
由题知，P₁（-$\frac{1}{3}$，0），P₂（0，-1），P₁ P₂线段中点M（-$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{2}$），
${k}_{{P}_{1}{P}_{2}}$=$\frac{-1-0}{0+\frac{1}{3}}$=-3，故P₁ P₂线段中垂线的方程为y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（x+$\frac{1}{6}$），（8分）
即3x-9y-4=0，即极坐标方程为3ρcosθ-9ρsinθ-4=0．（10分）

点评 本题考查曲线的参数方程的求法，考查过线段的中点且与直线垂直的直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．