Question

【题目】已知三棱锥 的底面积 是边长为 的正三角形， 点在侧面 内的射影 为 的垂心，二面角 的平面角的大小为 ，则 的长为（ ）

A.3
B.
C.
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】连结 交 于点 ，连结 ，设 在底面 内的射影为 ，则 平面 ，连结 交 于点

∵ 点在侧面 内的射影 为 的垂心
∴ 平面 ，
∴
∵ ， 平面 ， 平面
∴ 平面
∴
∵ 平面 ， 平面
∴
∵ ， 平面 ， 平面
∴ 平面
∵ 平面
∴
同理可证
∴ 是 的垂心
∴三棱锥 为正三棱锥
∵三棱锥 的底面 是边长为 的正三角形
∴ ， ，则
∵二面角 的平面角的大小为
∴ 为二面角 的平面角
在 中， ，
∴
在 中， ，
∴
所以答案是：C
【考点精析】认真审题，首先需要了解棱锥的结构特征(侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方)．