Question

如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，，点是侧棱的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）利用直线垂直于平面内两条相交直线，证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的余弦值，注意：所求二面角是钝角.

试题解析：（Ⅰ）由于底面

∴面面

∵面是矩形

∴

∴面

∴

而，是的中点

∴

∴面

（Ⅱ）分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的直角坐标系，

则、、、

∴

解法一：由（1）可知是平面EBC的一个法向量

设平面ECD的一个法向量为＝（x，y，z）

由，

得

即，

可得

取y＝，得z＝2

即

解法二：

可取平面和平面的法向量分别是

而

结合图形可知：二面角是钝角，故余弦值是

解法三：由已知BC＝BE＝AD＝AE＝1，故CD＝DE＝AB＝

即△CBE和△CDE都是等腰三角形

取CE中点F，连结BD、BF、DF，

有BF⊥CE，DF⊥CE，即∠BFD为二面角B－CE－D的平面角

 

则BD＝，BF＝，DF＝

于是cos∠BFD＝

故二面角的余弦值是

考点：空间直线与平面垂直，二面角，空间向量