Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，a_n＋1＝2S_n＋1(n∈N^*)，等差数列{b_n}满足b₃＝3，b₅＝9.

(1)分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)设c_n＝(n∈N^*)，求证：c_n＋1<c_n≤.

Answer 1

解：(1)由a_n＋1＝2S_n＋1①，

得a_n＝2S_n－1＋1(n≥2，n∈N^*)②，

①－②得a_n＋1－a_n＝2(S_n－S_n－1)，

∴a_n＋1＝3a_n(n≥2，n∈N^*)，

又a₂＝2S₁＋1＝3，∴a₂＝3a₁，∴a_n＝3^n－1.

∵b₅－b₃＝2d＝6，∴d＝3，∴b_n＝3n－6.

(2)证明：∵a_n＋2＝3^n＋1，b_n＋2＝3n，

∴c_n＋1<c_n<…<c₁＝，

即c_n＋1<c_n≤.