【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
,
分别为
,
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)已知与平面
所成的角为30°,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取中点
,连接
、
,根据题目条件,利用线面垂直的判定定理,得出
平面
,由于
为
中点,
,
,可证出四边形
为平行四边形,得出
,从而可证出
平面
;
(2)设,
,根据(1)可知,
平面
,则
到平面
距离
,设
到面
距离为
,根据三棱锥等体积法有
,得
,得
,因为
与平面
所成的角为30°,可求出
,结合线面垂直的判定定理证出
平面
,进而得出
为二面角
的平面角,只需求出
,即可求出二面角
的余弦值.
解:(1)取中点
,连接
、
,
∵∴
,
∵平面
,
平面
,
∴,
而平面
,
平面
,
∴平面
,
∵为
中点,∴
,
,
∴,
,
∴四边形为平行四边形,∴
.
∴平面
.
(2)设,
,
则,
,
,
∴
∴,
,
到平面
距离
,设
到面
距离为
,
由,得
,
即,得
,
因为与平面
所成的角为30°,
所以,
而在直角三角形中,
,
所以,解得
.
因为平面
,
平面
,
所以,
又平面
,
平面
,所以
,
所以平面
,
∵平面
,
平面
所以为二面角
的平面角,
而,
可得四边形是正方形,所以
,
则,
所以二面角的余弦值为
.
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为:
(
为参数,
),将曲线
经过伸缩变换:
得到曲线
.
(1)以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立坐标系,求
的极坐标方程;
(2)若直线(
为参数)与
相交于
两点,且
,求
的值.
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【题目】某公司生产某种产品进行出售,当这种产品定价为每吨1000元时,每月可售出产品100吨.当每吨价格每增加20元时,月售出量将会减少1吨.产品每吨生产成本400元,月固定成本为20000元.
(Ⅰ)当产品每吨定价为1200元时,该公司月利润是多少?
(Ⅱ)当产品每吨定价为多少元时,该公司的月利润最大?最大月利润是多少?(利润=总收入-生产成本-固定成本)
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
:
(
为参数),在以
原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)过点且与直线
平行的直线
交
于
,
两点,求点
到
,
两点的距离之积.
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【题目】如图,已知椭圆的长轴为
,过点
的直线
与
轴垂直,椭圆的离心率
,
为椭圆的左焦点,且
.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)设是此椭圆上异于
的任意一点,
,
为垂足,延长
到点
使得
.连接
并延长交直线
于点
,
为
的中点,判定直线
与以
为直径的圆
的位置关系.
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