Question

已知△ABC的内角A，C满足

sinC

sinA

=cos（A+C），则tanC的最大值为（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  2

  4

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：计算题,解三角形

分析：由已知可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，从而化简得tanB=-2tanA，由tanC=-tan（A+B）=

1

1 tanA +2tanA

，根据不等式

1

tanA

+2tanA≥2

2

，即可解得
tanC的最大值．

解答： 解：由

sinC

sinA

=cos（A+C）=-cosB，
所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，
所以：cosAsinB=-2sinAcosB，
所以：tanB=-2tanA，
因为：tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

tanA

1+2tan2A

=

1

1 tanA +2tanA

，
因为

1

tanA

+2tanA≥2

2

，
所以tanC≤

2

4

．
所以最大值是

2

4

．
故选：D．

点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式、正弦函数公式、正切函数公式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．