Question

已知F双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若E在以AB为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由右顶点在以AB为直径的圆的外部，得|EF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e²-e-2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．

解答： 解：由题意，直线AB方程为：x=-c，其中c=

a2+b2

，
因此，设A（-c，y₀）（y₀＞0），B（-c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解得y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外部，
∴|EF|＞|AF|，即a+c＞

b2

a

，
将b²=c²-a²，并化简整理，得2a²+ac-c²＞0，
两边都除以a²，整理得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
由于e＞1，则有1＜e＜2．
故答案为：（1，2）．

点评：本题给出以双曲线通径为直径的圆，当右顶点在此圆外时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．