Question

20．如图，三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是5$+\frac{5\sqrt{21}}{3}$cm．

Answer 1

分析 根据三个小球和碗的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到碗的半径．

解答 解：解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图：
则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心，
∵小球的半径为5cm，
∴三个球心之间的长度为10cm，
即OA=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×10=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$cm．，
在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O），
和切点A构成直角三角形，
则OA²+AB²=OB²，
其中OB=R-5，AB=5，
∴（$\frac{10\sqrt{3}}{3}$）²+5²=（R-5）²
即$\frac{175}{3}$=（R-5）²
∴R-5=$\frac{5\sqrt{21}}{3}$，
R=5+$\frac{5\sqrt{21}}{3}$cm．
故答案为：5$+\frac{5\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题主要考查了球的相切问题 的计算，根据条件作出正视图和俯视图，确定球半径之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大