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已知抛物线,点,过的直线交抛物线两点.

1)若线段中点的横坐标等于,求直线的斜率;

2)设点关于轴的对称点为,求证:直线过定点.

 

1;2

【解析】

试题分析:1因为点M在抛物线外面,所以过M与抛物线相交的直线斜率存在,用点斜式假设直线方程并联立抛物线方程,消去y,即可得一个关于x的一元二次方程,由韦达定理及已知中点的横坐标,即可求出斜率的值.

2由点A,B的横坐标满足1式中的一元二次方程,由韦达定理可得根与系数的等式,再写出直线的方程,利用点差法将点A,B的坐标带入抛物线方程.即可求出直线过定点,要做点是否存在的判定.

试题解析:(1)设过点的直线方程为

因为 ,且

所以,.

,则.

因为线段中点的横坐标等于,所以

解得,符合题意.

2)依题意,直线

所以

因为 , 且同号,所以

所以

所以,直线恒过定点.

考点:1.直线与抛物线的位置关系.2.解方程的能力.3.恒过定点的问题.4.直线方程的表示.

 

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