已知抛物线,点,过的直线交抛物线于两点.
(1)若线段中点的横坐标等于,求直线的斜率;
(2)设点关于轴的对称点为,求证:直线过定点.
(1);(2)
【解析】
试题分析:(1)因为点M在抛物线外面,所以过M与抛物线相交的直线斜率存在,用点斜式假设直线方程并联立抛物线方程,消去y,即可得一个关于x的一元二次方程,由韦达定理及已知中点的横坐标,即可求出斜率的值.
(2)由点A,B的横坐标满足(1)式中的一元二次方程,由韦达定理可得根与系数的等式,再写出直线的方程,利用点差法将点A,B的坐标带入抛物线方程.即可求出直线过定点,要做点是否存在的判定.
试题解析:(1)设过点的直线方程为,
由 得
因为 ,且,
所以,.
设,,则,.
因为线段中点的横坐标等于,所以,
解得,符合题意.
(2)依题意,直线,
又 ,,
所以
因为 , 且同号,所以,
所以 ,
所以,直线恒过定点.
考点:1.直线与抛物线的位置关系.2.解方程的能力.3.恒过定点的问题.4.直线方程的表示.
科目:高中数学 来源:2015届北京海淀区高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知双曲线的两条渐近线方程为,那么此双曲线的虚轴长为( )
(A) (B) (C) (D)
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科目:高中数学 来源:2015届北京市西城区高二第一学期期末理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
已知为椭圆上一点,为椭圆长轴上一点,为坐标原点.
给出下列结论:
①存在点,使得为等边三角形;
②不存在点,使得为等边三角形;
③存在点,使得;
④不存在点,使得.
其中,所有正确结论的序号是__________.
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科目:高中数学 来源:2015届北京市西城区高二第一学期期末理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
已知平面内两个定点,过动点作直线的垂线,垂足为.若,则动点的轨迹是( )
A. 圆 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线
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科目:高中数学 来源:2015届北京东城(南片)高二上学期期末考试文数学试卷(解析版) 题型:填空题
下列命题中,真命题的是 .
①必然事件的概率等于l
②命题“若b=3,则b2=9”的逆命题
③对立事件一定是互斥事件
④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
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