Question

2．设函数f（x）=$\frac{{{4^x}+a}}{{{2^{x+1}}}}$，h（x）=2f（x）-ax-b．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，且h（x）在[-1，1]有零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中函数f（x）=$\frac{{{4^x}+a}}{{{2^{x+1}}}}$，根据f（x）为奇函数，则对于x∈R有f（-x）=-f（x），f（x）为偶函数，则对于x∈R有f（-x）=f（x），可得结论；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数，即a=-1，若h（x）在[-1，1]有零点，即有x∈[-1，1]满足方程$b={2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+x$，构造函数求出值域，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）为奇函数，则对于x∈R有f（-x）=-f（x）得$\frac{{{4^x}+a}}{{{2^{x+1}}}}=-\frac{{{4^{-x}}+a}}{{{2^{-x+1}}}}$，
化为2^x+1+a•2^-x+1=-2^-x+1-a•2^x+1，所以a=-1．         …．（3分）
若f（x）为偶函数，则对于x∈R有f（-x）=f（x）得$\frac{{{4^x}+a}}{{{2^{x+1}}}}=\frac{{{4^{-x}}+a}}{{{2^{-x+1}}}}$，
化为2^x+1+a•2^-x+1=2^-x+1+a•2^x+1，所以a=1．       …．（6分）
综上知，当a=-1时，f（x）为奇函数；
当a=1时，f（x）为偶函数；
当a≠±1时，f（x）非奇非偶．  …．（8分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知若f（x）为奇函数，则a=-1．
此时$h（x）={2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+x-b$在[-1，1]有零点，
即有x∈[-1，1]满足方程$b={2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+x$． …．（11分）
由于函数$b={2^x}-{（\frac{1}{2}）^x}+x$在[-1，1]单调递增，
在x∈[-1，1]时其值域为$[-\frac{5}{2}，\frac{5}{2}]$，
所以$-\frac{5}{2}≤b≤\frac{5}{2}$，
即实数b的取值范围为$[-\frac{5}{2}，\frac{5}{2}]$． …．（15分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的零点，根的存在性及根的个数判断，难度中档．